住民税はその年の１月１日現在の居住地で課税されることになっています。今年の１月１日現在ではあなたの住所は勝浦市にあったのですから、その後にA町へ引っ越したとしても、今年の市県民税は勝浦市に納めていただくことになります。

所得税においては、所得の発生した時点で源泉徴収を行っているなどの理由から、給与所得以外の所得が２０万円以下の場合には確定申告不要とされておりますが､市県民税においては、このような源泉徴収制度はなく、他の所得と合算して税額が計算されることとなりますので、給与所得以外の所得がある場合には、所得の多寡にかかわらず申告しなければなりません。